Časová a frekvenčná reprezentácia
Ortogonálne transformácie

Ortogonálne transformácie umožňujú reprezentovať časový priebeh signálu vo forme jeho zovšeobecneného spektra. Transformácia sa používa, pretože v spektrálnej oblasti je potom možné vykonávať potrebné matematické operácie, ktoré umožňujú napr. rýchlejšie vyhodnotenie signálov, dokážu vylúčiť redundanciu, atď.

Diskrétne ortogonálne transformácie nachádzajú široké využitie v mnohých oblastiach pri kompresii údajov, rozpoznávaní obrazov, analýze a syntéze rečových signálov, atď. Naším hlavným cieľom v tomto kurze sú jednorozmerné ortogonálne funkcie a transformácie.

Najjednoduchším spôsobom matematického vyjadrenia jednorozmerných signálov je lineárna kombinácia (súčet násobkov) niektorých základných (bázových) funkcií. Také vyjadrenie jednorozmerných signálov je veľmi výhodné najmä v lineárnych sústavách, lebo umožňuje riešiť mnohé úlohy na základe princípu superpozície. Vyžaduje sa, aby základné funkcie u(k, t) sa ľahko vyčísľovali a mali jednoduchý tvar a týmto požiadavkám najviac vyhovujú ortogonálne funkcie.

Matematická definícia ortogonálnych funkcií u(0,t), u(1,t),…, u(N – 1,t) na intervale <t1, t2> je nasledovná:

V prípade, že Uk = 1, funkcie nazývame ortonormálne (t.j. majú veľkosť jedna).

Príklad matematického vyjadrenia jednorozmerného signálu x(t), pomocou lineárnej kombinácie niektorých základných (bázových) funkcií:

kde yk sú spektrálne koeficienty definované ako:

Preštudujte si nasledujúci príklad na obrázku Obr. 2.5.

Obr. 2.5: Príklad matematického vyjadrenia jednorozmerných signálov, pomocou lineárnej kombinácie niektorých bázových funkcií

Medzi najviac používané ortogonálne funkcie v oblasti spracovania signálov patria funkcie menom Walsh, Haar a Rademacher.

Rozklad (aproximácia) diskrétneho signálu x(nT), kde T je diskretizačná perióda s počtom vzoriek M podľa niektorej diskrétnej ortogonálnej bázy, je daný vzťahom:

pričom optimálne koeficienty:

Pri harmonických signáloch je parametrom funkcie frekvencia. V prípade neharmonických signálov sa používa pojem sekvencia, ktorá je určená počtom priesečníkov nulovej úrovne za sekundu. V súvislosti s diskrétnymi funkciami sa sekvencia určí z počtu zmien znamienka vzoriek za sekundu.

Diskrétne ortogonálne bázové funkcie môžeme získať diskretizáciou funkcií spojitej ortogonálnej bázy harmonických funkcií.

## Systém Walshových funkcií

Walshove funkcie tvoria usporiadanú množinu pravouhlých impulzov, ktoré majú len dve možné hodnoty amplitúdy ( +1 alebo -1 ) a predstavujú úplný systém ortogonálnych funkcií. Sú závislé od dvoch argumentov, a to času (t) a od poradového čísla (k). Značíme ich wal(k,t) a môžeme rozlišovať párne (kosínusové-Walshove) cal(k,t) a nepárne (sínusové-Walshove) sal(k,t) funkcie, ktoré sú dané:

Obr. 2.6: Príklad párnych a nepárnych bázových Walshových funkcií

Podľa usporiadania Walshových funkcií tieto delíme na tri skupiny:

1. usporiadanie Walshove (sekvenčné) walw(k,t)
2. usporiadanie Paleyho (dyadické) walp(k,t)
3. usporiadanie Hadamardove (prirodzené) walh(k,t)

Jednotlivé usporiadania majú svoje realizačné opodstatnenia. Bázy obsahujú tie isté funkcie, ktoré sú však odlišne zoradené. Ako príklad je možné uviesť Hadamardovo (prirodzené) usporiadanie.

Výhodou tohto usporiadania je jednoduchá tvorba bázových funkcií väčších rozmerov.

Na obrázku nižšie je prvých osem spojitých aj diskrétnych Walshových funkcií s prirodzeným usporiadaním, pričom maticový zápis diskrétnych Walshových funkcií dáva v tomto prípade Hadamardovú maticu Uh(3) s rozmerom 8x8.

Vo všeobecnosti Hadamardovú maticu Uh(r) s rozmerom MxM, kde M=2r, môžeme vypočítať pomocou kroneckerovského (priameho) súčinu matíc z Uh(r–1).

kde Uh(0)=1

Kroneckerovský súčin, označený ako , je operácia s dvomi maticami ľubovoľných rozmerov, ktorej výsledok je matica s maticovými prvkami.

Obr. 2.7: Prirodzené usporiadanie spojitých, diskrétnych a matice Walshových funkcií

Existujú aj ďalšie transformácie obsahujúce harmonické bázové funkcie. Okrem diskrétnej Fourierovej transformácie sem patrí diskrétna kosínusová transformácia (discrete cosine transformation, DCT), diskrétna sínusová transformácia (discrete sinus transformation, DST), diskrétna Hartleyho transformácia (discrete Hartley transformation, DHYT).