Analógové a digitálne technológie
Lineárny diskrétny časovo – invariantný systém

Lineárny, konečný, časovo – invariantný systém (LKI) sa priamo využíva v seizmológií, spracovaní signálov, obvodoch, teórii kontroly a iných technických oblastiach. Analýza spojitého LKI a diskrétneho LKI je veľmi podobná. Diskrétna oblasť je menej technicky náročná, preto sa zameriame na tieto systémy.

LDKI (Lineárny, diskrétny, konečný, časovo – invariantný systém) má na vstupe a na výstupe jeden signál, pre ktoré platia nasledujúce vlastnosti:

- Systém je lineárny. To znamená, že ak vstup x1(n) a x2(n) generuje výstup y1(n) and y2(n) a ak a1 a a2 sú konštanty, potom vstupný signál a1x1(n)+ a2x2(n) generuje výstupný signál a1y1(n)+ a2y2(n).
- Systém je nemenný v čase. To znamená, že ak vstupný signál x(n) generuje výstupný signál y(n), potom pre každé reálne číslo s platí, že posunutý vstupný signál v čase generuje posunutý výstupný signál v čase .

## Diferenčná rovnica

Prvý dôležitý poznatok o správaní sa lineárneho, diskrétneho, konečného, časovo invariantného systému je, že odpoveď systému na ľubovoľný vstup je presne daný odpoveďou systému na jeden špecifický vstup v čase 0, a tým je Kroneckerov impulz (definovaný v kapitole Dôležité signály). Túto odozvu systému nazývame impulzovou odpoveďou. Teraz si zadefinujeme vzťah, ktorý definuje výstup generovaný vstupným signálom x(n).

Rovnica opisuje rekurzívny LDKI (so spätnou väzbou). Vzorky výstupného signálu sú dané ako lineárna kombinácia váhovaných vzoriek vstupného signálu. Váhové koeficienty sú označené ako ak a bk. Systémy opísané touto rovnicou nazývame systémy s nekonečnou impulzovou odpoveďou (infinite impulse response, IIR).

Špeciálnym prípadom je diferenčná rovnica pre nerekurzívny systém. V tomto prípade vstupný signál závisí iba od vzoriek vstupného signálu, nie je závislý od predchádzajúcich vzoriek výstupného signálu. Systém je s konečnou impulzovou odpoveďou (finite impulse response, FIR) a je definovaný ako:

## Konvolúcia

Konvolúcia je ďalšia možnosť, ako opísať LDKI systém. Ak poznáme impulzovú odpoveď systému označenú ako h(n)a vstupný signál je daný ako x(n), potom výstupný signál môžeme vyjadriť ako:

Kde operátor * je konvolučný súčin. Dĺžka výstupného signálu je definovaná vzťahom kde je dĺžka vstupného signálu a je dĺžka impulzovej odpovede.

Princíp činnosti je založený na princípe superpozície lineárnych systémov. Výstupný signál sústavy je daný súčtom vážených a posunutých impulzových charakteristík. Pre správne porozumenie si preštudujte nasledujúci príklad.

Majme FIR systém s impulzovou odpoveďou h(n) = {1, 2, 3}. Na jej vstup privedieme signál x(n) = {x(0), x(1), x(2), x(3)}.

Výstupný signál určíme pomocou konvolúcie.

Dĺžka impulzovej odpovede h(n) je Dh =3 a dĺžka vstupného signálu x(n) je Dx =4, potom dĺžka výstupu je Dy =6. Konvolúciu veľmi jednoducho vypočítame pomocou tabuľky.

Konvolúcia
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
x(0) | x(0) | 2 x(0) | 3 x(0) | 0 | 0 | 0 | 0
x(1) |  | x(1) | 2 x(1) | 3 x(1) | 0 | 0 | 0
x(2) |  |  | x(2) | 2 x(2) | 3 x(2) | 0 | 0
x(3) |  |  |  | x(3) | 2 x(3) | 3x(3) | 0
y(n) | y(0) | y(1) | y(2) | y(3) | y(4) | y(5) | 0

V jednotlivých riadkoch tabuľky sa nachádzajú príslušné vzorky vstupného signálu vážené impulzovou charakteristikou. Posúvanie riadkov smerom doprava zodpovedá oneskoreniu príslušnej vzorky vstupu. V poslednom riadku sú vzorky výstupného signálu a dostaneme ich superpozíciou hodnôt v jednotlivých stĺpcoch pre n = 0, 1, 2,... Napríklad:

y(1) = 2.x(0) + x(1)

y(2) = 3.x(0) + 2.x(1) + x(2), atď.

Konvolučný súčin dvoch postupností dostaneme tak, že jednu z nich usporiadame v opačnom poradí a potom ju podsúvame pod druhú sprava a v každom kroku určíme súčet vzniknutých súčinov.

## Prenosová funkcia

Prenosová funkcia reprezentuje vzťah medzi vstupným a výstupným signálom LDKI systému pri nulových počiatočných podmienkach vo frekvenčnej oblasti. Prenosová funkcia je odvodená z diferenčnej rovnice alebo impulzovej charakteristiky. V oboch prípadoch sa použije DFT na transformáciu do frekvenčnej oblasti. Ako bolo definované vyššie, platí a po DFT dostaneme vzťah:

Obr. 3.5: Súvis medzi vstupným, výstupným signálom a ich obrazmi

Je zrejme, že h(n) a charakterizujú ten istý systém v rôznych doménach. Ak aplikujeme DFT na diferenčnú rovnicu, prenosová funkcia bude opísaná pomocou váhových koeficientov ak a bk, ktoré sú identické s koeficientmi v diferenčnej rovnici:

.

Vzťah zapísaný ako racionálna lomená funkcia je výhodnejší, pretože delením čitateľa menovateľom dostaneme priamo vzorky impulzovej odpovede. Pre IIR systémy je počet vzoriek nekonečný. V prípade FIR systému nie je prenosová funkcia v tvare zlomku, pretože menovateľ je rovný 1.

Prenosová funkcia je veľmi dôležitá a pomocou sú určené frekvenčné charakteristiky. Tie sa využívajú najmä v teórii filtrov.

### Frekvenčné charakteristiky

Frekvenčné charakteristiky určujú dynamiku systému.

Je to pomer amplitúdy (alebo magnitúdy) a fázy výstupu ako funkcie frekvencie k vstupu.

Jednoducho povedané, ak je na vstup systému privedená funkcia sínus s danou frekvenciou, odozva LDKI bude s tou istou frekvenciou, amplitúda a fáza budú mať hodnoty pomerné k vstupu.

Frekvenčná charakteristika prenosovej funkcie je definovaná:

kde a .

Absolútna hodnota prenosovej funkcie sa nazýva magnitúdová frekvenčná charakteristika a sa nazýva fázová frekvenčná charakteristika. nie je spojitá funkcia, ale vykazuje 180 stupňové skoky. Ak odstránime tieto skoky, dostaneme fázovú frekvenčnú charakteristiku Ɵ(Ω), ktorá bude spojitá. Odstránenie skokov umožní zmena znamienka pri magnitúdovej frekvenčnej charakteristike vždy pri každom skoku fázovej frekvenčnej charakteristiky . Vzťah medzi amplitúdovou a magnitúdovou frekvenčnou charakteristikou je nasledovný:

.

Zohľadnením informácií vyššie spomenutých môžeme definovať pre frekvenčné charakteristiky:

Obr. 3.6: Príklad prenosovej funkcie LDKI systému, magnitúdová a fázová frekvenčná charakteristika (jedna a viac periód)