Analógové a digitálne technológie
Filtre

V spracovaní signálov, filter je zariadenie alebo proces, ktorý odstráni zo signálu nechcenú časť alebo vlastnosť.

Najčastejšie to znamená odstránenie niektorých frekvencií kvôli potlačeniu rušenia signálov a zníženiu šumu v pozadí. Avšak filtre nepracujú iba vo frekvenčnej doméne, obzvlášť v oblasti spracovania obrazu je viac veličín, ktoré sa môžu filtrovať.

Nedostatkom filtrácie je strata informácie spojenej s odfiltrovanou časťou. Kombinácia signálu s Fourierovim priestorom je alternatívny prístup na odstránenie iba určitých frekvencií zo signálu.

Je niekoľko rôznych klasifikácií filtrov, ktoré sa v mnohých ohľadoch prekrývajú. Neexistuje teda jednoznačné delenie, hierarchia. Filtre môžeme podľa rôznych kritérií rozdeliť na:

- analógové alebo digitálne
- diskrétne v čase alebo diskrétne v hodnote
- lineárne alebo nelineárne
- s nekonečnou impulzovou odpoveďou (IIR) alebo s konečnou impulzovou odpoveďou (FIR) patriace medzi diskrétne a digitálne filtre.

Dôležité pojmy používané na klasifikáciu lineárnych filtrov:

- Dolnopriepustný filter – nízke frekvencie sa prepúšťajú, vysoké frekvencie sa tlmia.
- Hornopriepustný filter – vysoké frekvencie sa prepúšťajú, nízke frekvencie sa tlmia.
- Pásmový priepust – iba frekvencie z frekvenčného pásma sa prepúšťajú.
- Pásmový záver– iba frekvencie z frekvenčného pásma sa tlmia.
- Úzkopásmový filter – neprepúšťa iba jednu špecifickú frekvenciu, je to extrémny prípad pásmového záveru.

Filtre môžu byť implementované rôznymi technológiami. Tá istá prenosová funkcia sa môže realizovať viacerými spôsobmi. To znamená, že matematické vlastnosti a parametre sú rovnaké, ale fyzická realizácia je odlišná. Komponenty v jednotlivých technológiách sú však zvyčajne rovnaké a v príslušných filtroch spĺňajú tú istú úlohu.

- Elektronické filtre boli pôvodne vyrobené iba z pasívnych prvkov ako odpor, cievka a kondenzátor. Aktívne technológie zjednodušili výrobu a otvorili nové možnosti v špecifikácií filtrov.
- Digitálne filtre pracujú so signálmi definovanými v digitálnej podobe. Podstata digitálnych filtrov je v tom, že majú priamo v mikrokóde implementovaný matematický algoritmus zodpovedajúci požadovanej prenosovej funkcii.

## Lineárne analógové filtre

Lineárny obvod opísaný spojitými funkciami je pravdepodobne najčastejšie myslený ako filter v oblasti spracovania signálov. Pre zjednodušenie sa zaviedol pojem filter. Úlohou týchto filtrov je určité frekvencie tlmiť a iné prepúšťať.

Taký filter musí byť nutne aj lineárny filter. Nelinearita by mohla spôsobiť to, že sa vo výstupnom signáli budú vyskytovať aj frekvencie, ktoré sa vo vstupnom signáli nenachádzali.

Najznámejšie skupiny lineárnych, časovo spojitých filtrov rozdelené podľa spôsobu návrhu sú:

- Chebyshev filter, má najlepšiu aproximáciu vzhľadom na ideálnu charakteristiku ľubovoľného filtra pre dané usporiadanie a zvlnenie.
- Butterworth filter, má maximálne vyrovnanú frekvenčnú charakteristiku.
- Bessel filter, má maximálne vyrovnané fázové oneskorenie.

Rozdiel medzi týmito skupinami filtrov je v tom, že každý typ používa inú polynomickú funkciu na aproximáciu ideálnej frekvenčnej charakteristiky. Výsledkom sú rôzne prenosové funkcie. Takže podľa toho, akú frekvenčnú charakteristiku potrebujeme (zvlnenú, vyrovnanú) si vyberieme typ filtra.

Filtre sa používajú predovšetkým v oblasti telekomunikácii – sú nevyhnutnou súčasťou viacerých technologických pokrokov a boli zdrojom značných ziskov pre telekomunikačné spoločnosti. Nemalo by teda byť žiadnym prekvapením, že vývoj prvých filtrov bol úzko spojený s vývojom prenosových trás.

## Digitálne filtre

V elektronike, výpočtovej technike a matematike sa za digitálny filter považuje systém, ktorý pracuje iba s navzorkovaným signálom (diskrétnym v čase). Jeho podstatou je zredukovať alebo zvýrazniť niektoré vlastnosti signálov.

Toto je hlavný rozdiel v porovnaní s analógovými filtrami, ktoré reprezentuje elektrický obvod pracujúci so spojitým signálom v čase. Analógový signál môže byť filtrovaný digitálnym filtrom v prípade, ak sa najskôr navzorkuje a je reprezentovaný ako postupnosť vzoriek. Potom môže prejsť digitálnym filtrom a spätne sa zrekonštruovať na prefiltrovaný analógový signál. Pri analógových filtroch je vstupný signál priamo privedený do elektrického obvodu.

Digitálny filter je charakterizovaný svojou prenosovou funkciou alebo diferenčnou rovnicou. Matematickou analýzou prenosovej funkcie sa dá vyjadriť odpoveď na ľubovoľný vstup.

### Filtre s konečnou impulzovou odpoveďou

Filter s konečnou impulzovou odpoveďou, nazývaný FIR – je filter, ktorý ma konečnú impulzovú odpoveď, pretože sa po určitom čase ustáli na nule.

FIR filtre sú typické filtre bez spätnej väzby, takže výstupný signál závisí iba od vstupného signálu. Ak máme N vzoriek vstupného signálu, potom N –1 je stupeň filtra.

Diferenčná rovnica opisujúca systém v časovej oblasti:

Definícia prenosovej funkcie:

Hlavné výhody FIR filtrov sú:

- Nedochádza k akumulácii chyby pri sčítavaní vzoriek, pretože nemajú spätnú väzbu.
- Jednoduchá implementácia.
- Stabilita. Sú bez spätnej väzby, takže všetky póly* sú umiestnené v začiatku (zjednodušene povedané „akoby póly neboli“). Systém je stabilný práve vtedy, ak absolútna hodnota každého pólu je menšia ako jeden.
- Je jednoduché zabezpečiť lineárnu fázovú charakteristiku. Tá je zabezpečená vtedy, ak je impulzová odpoveď systému symetrická alebo antisymetrická.

*Poznámka: póly sú korene menovateľa prenosovej funkcie.

Obr. 3.7: Impulzová odpoveď (na zabezpečenie lineárnej impulzovej charakteristiky)

Ak sa povie navrhnúť filter, znamená to vybrať také koeficienty, aby mal filter požadované charakteristiky. Tie sú zvyčajne uvedené v špecifikácii filtra, ktorá najčastejšie predstavuje frekvenčnú charakteristiku filtra. Existuje niekoľko metód na hľadanie koeficientov, medzi najviac používané patria:

- Intuitívna metóda
- Metóda frekvenčného vzorkovania
- Metóda s oknovými funkciami
- Metóda vážením najmenších štvorcov

Obr. 3.8: Impulzová odpoveď, magnitúdová a fázová frekvenčná charakteristika FIR filtra

### Filtre s nekonečnou impulzovou odpoveďou

Filter s nekonečnou impulzovou odpoveďou, nazývaný IIR – je filter, ktorého impulzová odpoveď nikdy nenadobudne nulovú hodnotu.

Vzorka výstupného signálu je daná sumou N vzoriek vstupného signálu, váhovanými koeficientmi ak a výstupného signálu, váhovanými koeficientmi bk. Je to zrejmé aj z diferenčnej rovnice opisujúcej IIR systém.

Diferenčná rovnica opisujúca IIR filter:

a definícia prenosovej funkcie:

Prenosová funkcia je daná podielom dvoch polynómov, preto stabilita sústavy nie je zaručená. Ako bolo spomenuté, systém je stabilný vtedy, ak absolútna hodnota každého pólu je menšia ako jeden. V prípade nestability existuje niekoľko spôsobov, ako sústavu stabilizovať, napríklad pomocou fázovacích článkov alebo PLSI algoritmom.

Pri návrhu filtra musíme zvoliť koeficienty tak, aby mal systém predpísanú frekvenčnú charakteristiku. V prípade IIR filtra to znamená určiť stupeň čitateľa, menovateľa a koeficienty ak a bk.. Metódy návrhu IIR filtrov sa delia na dve skupiny.

Do prvej skupiny patria priame metódy návrhu:

- Intuitívna metóda
- Metóda frekvenčného vzorkovania
- Pronyho metóda

Druhá skupina návrhu sa volá nepriame metódy a vychádza z prepracovaných metód návrhu analógových filtrov. Pri návrhu sú formulované požiadavky na IIR filter. Potom sa navrhne analógový filter (Chebyshev filter, Butterworth filter, Ellipticky filter), ktorý je pretransformovaný do digitálnej oblasti aplikovaním diskretizačných techník. Medzi najpoužívanejšie patria:

- Metóda bilineárnej transformácie
- Metóda invariantnosti impulzovej charakteristiky

Obr. 3.9: Impulzová odpoveď, magnitúdová a fázová frekvenčná charakteristika IIR filtra (exponenciálna funkcia)
Obr. 3.10: Impulzová odpoveď, magnitúdová a fázová frekvenčná charakteristika IIR filtra (sinc funkcia)

Hlavnou výhodou IIR filtrov je, že napriek rekurzivite majú menej členov a teda spotrebujú menej operačnej pamäte ako ekvivalentné FIR filtre. Preto sú výhodné v oblasti číslicového spracovania signálov.

Nevýhodou IIR filtrov je, že môžu byť nestabilné. Implementácia IIR filtrov je komplikovanejšia ako implementácia FIR filtrov.