Časová a frekvenčná reprezentácia
Fourierova transformácia

Fourierova transformácia, pomenovaná podľa Josepha Fouriera, je dôležitá v matematike, technických vedách a fyzike.

Jednoducho povedané, Fourierova transformácia predstavuje matematické vyjadrenie funkcie času v závislosti na frekvencii. Táto funkcia je známa ako frekvenčné spektrum.

Je dôležité poznamenať, že Fourierova transformácia sa používa len pre neperiodické analógové signály. Pre periodické analógové signály sa používa Fourierov rad.

Povedzme, že máme funkciu f(t), ktorá mapuje nejaké časové hodnoty t na nejaké hodnoty f(t).

Teraz skúsime aproximovať f ako sumu jednoduchých harmonických kmitov, t.j. sínusových vĺn určitej frekvencie ω. Samozrejme, sú tam niektoré frekvencie, ktoré sa dobre hodia na aproximáciu f a niektoré ju menej dobre aproximujú. Potrebujeme teda nejakú vhodnú funkciu f(ω), ktorá nám povie, do akej miery sú dané oscilácie s frekvenciou ω reprezentované v aproximácii f.

Zoberme si napríklad funkciu (zobrazená čiernou čiarou) znázornenú na Obr. 2.1:

Obr. 2.1: Dve harmonické frekvencie tvoriace signál

ktorá je definovaná ako f(t)=sin(t)+0.13sin(3t). Kmitanie (bodkovaná čiara) s ω=1 má najväčší vplyv na výsledok, takže môžeme povedať, že sa F(1)=1. Druhá vlna (ω = 3, prerušovaná čiara) má malý vplyv a jej amplitúda je oveľa menšia. Teda hovoríme, že sa F(3)=0.13. Ďalšie frekvencie nemusia byť vôbec uvedené v aproximácii, teda píšeme, že pre tieto sa F(ω)=0.

Teraz, keď poznáme F(ω) nie len pre niektoré ale pre všetky možné frekvencie ω, môžeme perfektne aproximovať našu funkciu f(t). A to je to, čo robí spojitá Fourierova transformácia.

Fourierova transformácia teda vezme nejakú funkciu času f(t) a vráti k nej príslušnú funkciu F(ω)=FT(f), t.j. jej Fourierovu transformáciu. FT popisuje, do akej miery je niektorá z daných frekvencií reprezentovaná vo funkcii f. Ide iba o inú reprezentáciu f(t) s rovnakou informáciou, ale so zápisom v inej doméne (napríklad frekvenčnej). Často krát však môže by problém vyriešený jednoduchšie v inom zastúpení (spočíva v nájdení vhodného súradnicového systému).

Danú Fourierovu transformáciu môžeme integrovať cez všetky frekvencie, zostaviť váhované sínusové vlny a dostať opäť naše f. Tento proces voláme spätná Fourierova transformácia IFT.

Najdôležitejšie je, že Fourierova transformácia má veľa výhodných matematických vlastností (napr. konvolúcia je v frekvenčnej doméne iba násobením). Často krát je oveľa jednoduchšie pracovať s Fourierovou transformáciou ako s funkciou samotnou. Takže funkciu transformujeme, vykonáme jednoduchú matematickú operáciu a následne transformujeme naspäť.

Povedzme, že chceme redukovať šum v digitálnom obraze. Namiesto manipulovania s funkciou obrazu: Pixel→Svetlosť, radšej transformujeme celok a pracujeme s F(obraz): Frekvencia→Amplitúda. Tie časti vysokých frekvencií, ktoré zapríčiňujú šum, môžu byť jednoducho odstránené – F(image) (ω)=0,ω>...Hz.

Fourierova transformácia (zvyčajne známa ako dopredná transformácia) je definovaná ako:

a inverzná Fourierova transformácia je definovaná:

Fourierova funkcia F(ω) je frekvenčná reprezentácia signálu f(t), tiež nazývaná spektrálna funkcia. Spektrálna funkcia závisí od reálnej premennej ω, takže môže byť definovaná ako:

kde je absolútna hodnota a je fázové spektrum.

V každej rovnici je j definované ako . Komplexná mocnina je srdcom transformácie. Komplexná mocnina je v podstate komplexné číslo, kde obe zložky, reálna aj imaginárna, sú sínusoidy. Exaktný vzťah sa nazýva Eulerova rovnica ejφ = cosφ + jsinφ, ktorá vedie k zaujímavej (a krásnej) rovnosti . Je jednoduchšie pracovať s komplexnými mocninami ako s trigonometrickými funkciami, poskytujú aj oveľa jednoduchší spôsob zápisu sínusoíd (je jednoduchšie napísať ejφ ako napísať cosφ + jsinφ).

Komplexné mocniny (alebo sínusy a kosínusy) sú periodické funkcie a súbor komplexných mocnín je kompletný a ortogonálny. Preto Fourierova transformácie môže reprezentovať akúkoľvek čiastočnú spojitú funkciu a chyba meraná metódou najmenších štvorcov (least-square error) medzi funkciou a jej fourierovou reprezentáciou je minimálna.

Existuje aj iný úplný a ortogonálny súbor periodických funkcií; napríklad Walshova funkcia (štvorcové vlny), ktorá je užitočná pre digitálne elektronické zariadenia (viac o tom v kapitole Ortogonálne transformácie).

Prečo sa vždy stretávame s komplexnými mocninami pri riešení fyzikálnych problémov? Prečo sú monochromatické vlny sínusového charakteru a nie periodické sledy štvorcových alebo trojuholníkových vĺn? Dôvod je, že derivácie komplexných mocnín sú jednoducho prepočítané komplexné mocniny. Inými slovami, komplexné mocniny sú funkcie diferenciálnych operátorov (operátor rozdielu). Väčšina fyzikálnych systémov sa riadi podľa pravidiel diferenciálnych rovníc. Teda analógové elektronické filtre budú konvertovať sínusovú vlnu na inú sínusovú vlnu s rovnakou frekvenciou (ale nie nevyhnutne s rovnakou amplitúdou a fázou), kým filtrovaná štvorcová vlna už viac nebude štvorcovou vlnou. Táto vlastnosť komplexných mocnín robí Fourierovu transformáciu užitočnou v rozmedzí od rádiového šírenia až po kvantovú mechaniku.

Fourierova transformácia je definovaná tiež pre dvojrozmerné signály a matematicky je definovaná ako:

a inverzná transformácia je definovaná: