Časová a frekvenčná reprezentácia
Diskrétna Fourierova transformácia

Diskrétna Fourierova transformácia DFT sa používa na získanie spektra diskrétnych signálov. Aby sme popísali signál vo frekvenčnej doméne, potrebujeme konečný počet sínusoíd.

Pre znázornenie čo robí DFT použijeme nasledujúci príklad. MP3 prehrávač posiela reproduktoru audio informácie v podobe kolísavého napätia elektrického signálu. Výsledkom je pohyb vzduchových častíc a produkcia zvuku. Kolísanie audio signálu v čase môže byť graficky znázornené: os x predstavuje čas a os y napätie elektrického signálu. Toto vyzerá ako nepravidelný vlnový hlavolam, ktorý je v skutočnosti sumou niekoľkých pravidelných hlavolamov, ktoré predstavujú rôzne frekvencie zvuku. Frekvencia znamená len rýchlosť s akou sa molekuly vzduchu pohybujú tam a naspäť, alebo kolísanie napätia.

„DFT robí matematicky to, čo fyzikálne robí ľudské ucho: rozkladá signál na jednotlivé zložky frekvencie. Na rozdiel od analógového signálu z gramofónu, digitálny signál z MP3 prehrávača je len sled čísel, ktoré reprezentujú veľmi krátke vzorky skutočného zvuku: napríklad CD-kvalita digitálne zvukového prehrávača zbiera 44 100 vzoriek za sekundu. Ak vyberieme niekoľko po sebe idúcich hodnôt z digitálneho signálu: 8, 128 alebo 1 000 – DFT ich reprezentuje ako vážený súčet rovnakého počtu frekvencii. („Váženú“ len znamená, že niektoré frekvencie sa významnejšie podieľajú na celku ako iné.)“

Diskrétna Fourierova Transformácia (DFT) je matematicky vyjadrená ako:

a inverzná diskrétna Fourierova transformácia (IDFT) je definovaná ako:

kde N je počet vzoriek diskrétneho signálu a n= 0, 1, 2, ..., N-1, je veľmi často nahradené ako Ω (Ω = ).

DFT sledu N-bodových časových vstupov je N-bodové frekvenčné spektrum s Fourierovou frekvenciou k s rozsahom od –(N/2 – 1), cez nultú frekvenciu nazývanou jednosmerná zložka, až po najvyššie Fourierove frekvencie N/2. Každá spektrálna zložka predstavuje celé číslo sínusových periód prezentovaných v časovom slede. Amplitúdy a fázy sú reprezentované amplitúdami Ak a fázami týchto sínusoíd. Pre zhrnutie, každá spektrálna zložka môže byť popísaná ako .

Diskrétna Fourierova transformácia je definovaná tiež pre dvojrozmerné signály a môže byť reprezentovaná ako séria rozšírení funkcie obrazu (cez 2D priestor).

Definície doprednej a inverznej 2D FT sú nasledovné:

Spektrum je komplexné keď aj postupnosť je reálna. Spektrum môže byť definované tiež ako suma reálnych a imaginárnych častí alebo ako súčin magnitúdy a fázy.