Časová a frekvenční reprezentace
Fourierova transformace

Fourierova transformace, pojmenovaná podle Josepha Fouriera, je důležitá v matematice, technických vědách a fyzice.

Jednoduše řečeno, Fourierova transformace představuje matematické vyjádření funkce času v závislosti na frekvenci. Tato funkce je známa jako frekvenční spektrum.

Je důležité poznamenat, že Fourierova transformace se používá jen pro neperiodické analogové signály. Pro periodické analogové signály se používá Fourierova řada.

Řekněme, že máme funkci f (t), která mapuje nějaké časové hodnoty t na nějaké hodnoty f(t).

Nyní zkusíme aproximovat f jako sumu jednoduchých harmonických kmitů, tj. sinusových vĺn určité kruhové frekvence ω. Samozřejmě, jsou tam některé frekvence, které se dobře hodí na aproximaci f a jiné které jí aproximují méně dobře. Potřebujeme tedy nějakou vhodnou funkci f(ω), která nám řekne, do jaké míry jsou dané oscilace s frekvencí ω reprezentované v aproximaci f.

Vezměme si například funkci (zobrazená černou čarou) odtud:

Dvě harmonické frekvence tvořící signál

která je definována jako f (t)=sin (t)+0.13sin(3t). Kmitání (tečkovaná čára) s ω=1 má největší vliv na výsledek, takže můžeme říci, že se F(1)=1. Druhá vlna (ω = 3, přerušovaná čára) má malý vliv a její amplituda je mnohem menší. Tedy říkáme, že se F(3)=0.13. Další frekvence nemusí být vůbec uvedeny v aproximaci, tedy píšeme, že pro tyto se F(ω)=0.

Nyní, když známe F(ω) nejen pro některé, ale pro všechny možné frekvence ω, můžeme perfektně aproximovat naši funkci f (t). A to je to, co dělá spojitá Fourierova transformace.

Fourierova transformace tedy vezme nějakou funkci času f(t) a vrátí k ní příslušnou funkci F(ω)=FT(f), tj. její Fourierovu transformaci. FT popisuje, do jaké míry je některá z daných frekvencí reprezentována ve funkci f. Jde pouze o jinou reprezentaci f (t) se stejnou informací, ale se zápisem v jiné doméně (například frekvenční). Častokrát však může být problém vyřešen jednoduše v jiném zastoupení (spočívá v nalezení vhodného souřadnicového systému).

Danou Fourierovu transformaci můžeme integrovat přes všechny frekvence, sestavit váhované sinusové vlny a dostat opět naše f. Tento proces nazýváme zpětná Fourierova transformace IFT.

Nejdůležitější je to, že Fourierova transformace má mnoho výhodných matematických vlastností (např. konvoluce je ve frekvenční doméně jenom násobením). Častokrát je mnohem jednodušší pracovat s Fourierovou transformací jako s funkcí samotnou. Takže funkci transformujeme, provedeme jednoduchou matematickou operaci a následně transformujeme nazpátek.

Řekněme, že chceme redukovat šum v digitálním obraze. Místo manipulace s funkcí obrazu: Pixel→Jas, raději transformujeme celek a pracujeme s F (obraz): Frekvence→Amplituda. Ty části vysokých frekvencí, které zapříčiňují šum, mohou být jednoduše odstraněny – F(image) (ω)=0, ω>...Hz.

Fourierova transformace (obvykle známá jako dopředná transformace) je definována jako:

a inverzní Fourierova transformace je definována:

Fourierova funkce F(ω) je frekvenční reprezentace signálu f(t), též nazývaná spektrální funkce. Spektrální funkce závisí na reálné proměnné ω, takže může být definována jako:

kde je absolutní hodnota a ) je fázové spektrum.

V každé rovnici je j definováno jako . Komplexní mocnina je srdcem transformace. Komplexní mocnina je v podstatě komplexní číslo, kde obě složky, reálná a imaginární, jsou sinusoidy. Exaktní vztah se nazývá Eulerova rovnice ejφ = cosφ + jsinφ, která vede k zajímavé (a krásné) rovnosti . Je jednodušší pracovat s komplexními mocninami než s trigonometrickými funkcemi, poskytují též mnohem jednodušší způsob zápisu sinusoid (je jednodušší napsat ejφ než napsat cosφ + jsinφ).

Komplexní mocniny (nebo siny a cosiny) jsou periodické funkce a soubor komplexních mocnin je kompletní a ortogonální. Proto Fourierova transformace může reprezentovat jakoukoliv částečnou spojitou funkci a chyba, měřená metodou nejmenších čtverců (least-square error) mezi funkcí a její Fourierovou reprezentací, je minimální.

Existuje též jiný úplný a ortogonální soubor periodických funkcí; například Walshova funkce (čtvercové vlny), která je užitečná pro digitální elektronická zařízení (více o tom v kapitole Ortogonální transformace).

Proč se vždy střetáváme s komplexními mocninami při řešení fyzikálních problémů? Proč jsou monochromatické vlny sinusového charakteru a ne periodické sledy čtvercových nebo trojúhelníkových vln? Důvod spočívá v tom, že derivace komplexních mocnin jsou jednoduše přepočítané komplexní mocniny. Jinými slovy, komplexní mocniny jsou funkce diferenciálních operátorů (operátor rozdílu). Většina fyzikálních systémů se řídí podle pravidel diferenciálních rovnic. Tedy analogové elektronické filtry budou konvertovat sinusovou vlnu na jinou sinusovou vlnu se stejnou frekvencí (ale nikoliv nevyhnutelně se stejnou amplitudou a fází), čímž filtrovaná čtvercová vlna už více nebude čtvercovou vlnou. Tato vlastnost komplexních mocnin dělá Fourierovu transformaci užitečnou v rozmezí od rádiového šíření až po kvantovou mechaniku.

Fourierova transformace je definována též pro dvojrozměrné signály a matematicky je definována jako:

a inverzní transformace je definována: