Analogové a digitální technologie
Lineární diskrétní časově – invariantní systém

Lineární, konečný, časově – invariantní systém (LKI) se přímo využívá v seismologii, zpracování signálů, obvodech, teorii kontroly a jiných technických oblastech. Analýza spojitého LKI a diskrétního LKI je velmi podobná. Diskrétní oblast je méně technicky náročná, proto se zaměříme na tyto systémy.

LDKI (Lineární, diskrétní, konečný, časově – invariantní systém) má na vstupu a na výstupu jeden signál, pro který platí tyto vlastnosti:

- Systém je lineární. To znamená, že jak vstup x1(n) a x2(n) generuje výstup y1(n) a y2(n), a jak a1 a a2 jsou konstanty, potom vstupní signál a1x1(n)+ a2x2(n) generuje výstupní signál a1y1(n)+ a2y2(n).
- Systém je neměnný v čase. To znamená, že jak vstupní signál x(n) generuje výstupní signál y(n), potom pro každé reálné číslo s platí, že posunutý vstupní signál v čase generuje posunutý výstupní signál v čase .

## Diferenční rovnice

První důležitý poznatek o chování lineárního, diskrétního, konečného, časově invariantního systému je, že odpověď systému na libovolný vstup je přesně dán odpovědí systému na jeden specifický vstup v čase 0, a tím je Kroneckerův impuls (definovaný v kapitole Důležité signály). Tuto odezvu systému nazýváme impulsní odezvou. Nyní si vydefinujeme vztah, který definuje výstup generovaný vstupním signálem x(n).

Rovnice popisuje rekurzivní LDKI (se zpětnou vazbou). Vzorky výstupního signálu jsou dány jako lineární kombinace váhovaných vzorků vstupního signálu. Váhové koeficienty jsou označeny jako ak a bk. Systémy popsané touto rovnicí nazýváme systémy s nekonečnou impulsní odpovědí (infinite impulse response IIR).

Speciálním případem je diferenční rovnice pro nerekurzivní systém. V tomto případě vstupní signál závisí jen na vzorcích vstupního signálu, není závislý na předcházejících vzorcích výstupního signálu. Systém je s konečnou impulsní odezvou (finite impulse response FIR) a je definován jako:

## Konvoluce

Konvoluce je další možností, jak popsat LDKI systém. Jestliže známe impulsní odezvu systému označenou jako h(n) a vstupní signál je dán jako x(n), potom výstupní signál můžeme vyjádřit jako:

kde operátor * je konvoluční součin. Délka výstupního signálu je definována vztahem , kde je délka vstupního signálu a je délka impulsní odezvy.

Podstata činnosti je založena na principu superpozice lineárních systémů. Výstupní signál soustavy je dán součtem vážených a posunutých impulsních charakteristik. Pro správné porozumění si prostudujte následující příklad.

Mějme FIR systém s impulsní odezvou h (n) = {1, 2, 3}. Na jeho vstup přivedeme signál

x(n) = {x(0), x(1), x(2), x(3)}.

Výstupní signál určíme pomocí konvoluce.

Délka impulsní odezvy h(n) je Dh =3 a délka vstupního signálu x(n) je Dx =4, potom délka výstupu je Dy =6. Konvoluci velmi jednoduše vypočítáme pomocí tabulky.

Konvoluce
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
x(0) | x(0) | 2 x(0) | 3 x(0) | 0 | 0 | 0 | 0
x(1) |  | x(1) | 2 x(1) | 3 x(1) | 0 | 0 | 0
x(2) |  |  | x(2) | 2 x(2) | 3 x(2) | 0 | 0
x(3) |  |  |  | x(3) | 2 x(3) | 3x(3) | 0
y(n) | y(0) | y(1) | y(2) | y(3) | y(4) | y(5) | 0

V jednotlivých řádcích tabulky se nacházejí příslušné vzorky vstupního signálu vážené impulsní charakteristikou. Posouvání řádků směrem doprava odpovídá zpoždění příslušného vzorku vstupu. V posledním řádku jsou vzorky výstupního signálu, které dostaneme jejich superpozicí v jednotlivých sloupcích pro n = 0, 1, 2,...Například:

y(1) = 2.x(0) + x(1)

y(2) = 3.x(0) + 2.x(1) + x(2), atd.

Konvoluční součin dvou posloupností dostaneme tak, že jednu z nich uspořádáme v opačném pořadí a potom jí podsouváme pod druhou zprava a v každém kroku určíme součet vzniklých součinů.

## Přenosová funkce

Přenosová funkce reprezentuje vztah mezi vstupním a výstupním signálem LDKI systému při nulových počátečních podmínkách ve frekvenční oblasti. Přenosová funkce je odvozena z diferenční rovnice nebo impulsní charakteristiky. V obou případech se použije DFT na transformaci do frekvenční oblasti. Jak bylo definováno výše, platí a po DFT dostaneme vztah:

Souvislost mezi vstupním, výstupním signálem a jejich obrazy

Je zřejmé, že h(n) a charakterizují stejný systém v různých doménách. Jestliže aplikujeme DFT na diferenční rovnici, přenosová funkce bude popsána pomocí váhových koeficientů ak a bk, které jsou identické s koeficienty v diferenční rovnici:

.

Vztah zapsaný jako racionální lomená funkce je výhodnější, protože dělením čitatele jmenovatelem dostaneme přímo vzorky impulsní odezvy. Pro IIR systémy je počet vzorků nekonečný. V případě FIR systému není přenosová funkce ve tvaru zlomku, protože jmenovatel je rovný 1.

Přenosová funkce je velmi důležitá a pomocí jsou určeny frekvenční charakteristiky. Ty se využívají hlavně v teorii filtrů.

### Frekvenční charakteristiky

Frekvenční charakteristiky určují dynamiku systému.

Je to poměr amplitudy (nebo magnitudy) a fáze výstupu jako funkce frekvence ke vstupu.

Jednoduše řečeno, jak je na vstup systému přivedena funkce sinus s danou frekvencí, odezva LDKI bude s tou samou frekvencí, amplituda a fáze budou mít hodnoty poměrné ke vstupu.

Frekvenční charakteristika přenosové funkce je definována:

kde a .

Absolutní hodnota přenosové funkce se nazývá magnitudová frekvenční charakteristika a se nazývá fázová frekvenční charakteristika. Funkce není spojitá funkce, ale vykazuje 180 stupňové skoky. Když odstraníme tyto skoky, dostaneme fázovou frekvenční charakteristiku Ɵ(Ω), která bude spojitá. Odstranění skoků umožní změna znaménka magnitudové frekvenční charakteristiky vždy při každém skoku fázové frekvenční charakteristiky . Vztah mezi amplitudovou a magnitudovou frekvenční charakteristikou je:

.

Zohledněním výše uvedených informací můžeme definovat pro frekvenční charakteristiky:

Příklad přenosové funkce LDKI systému, magnitudová a fázová frekvenční charakteristika (jedna a více period)