Časová a frekvenční reprezentace
Ortogonální transformace

Ortogonální transformace umožňují reprezentovat časový průběh signálu ve formě jeho zevšeobecněného spektra. Transformace se používá, protože ve spektrální oblasti je potom možno vykonávat potřebné matematické operace, které umožňují např. rychlejší vyhodnocení signálů, dokáží vyloučit redundanci, atd.

Diskrétní ortogonální transformace nacházejí široké využití v mnohých oblastech při kompresi údajů, rozpoznávání obrazů, analýze a syntéze hovorových signálů, atd. Naším hlavním cílem v tomto kurzu jsou jednorozměrné ortogonální funkce a transformace.

Nejjednodušším způsobem matematického vyjádření jednorozměrných signálů je lineární kombinace (součet násobků) některých základních (bázových) funkcí. Takové vyjádření jednorozměrných signálů je velmi výhodné zejména v lineárních soustavách, protože umožňuje řešit mnohé úlohy na základě principu superpozice. Vyžaduje se, aby základní funkce u (k, t) se lehce vyčíslovaly a měly jednoduchý tvar a těmto požadavkům nejvíce vyhovují ortogonální funkce.

Matematická definice ortogonálních funkcí u(0,t), u(1,t),…, u(N – 1,t) v intervalu <t1, t2> je následující:

V případě, že Uk = 1, funkce nazýváme ortonormální (tj. mají velikost jedna).

Příklad matematického vyjádření jednorozměrného signálu x(t), pomocí lineární kombinace některých základních (bázových) funkcí:

kde yk jsou spektrální koeficienty definované jako:

Prostudujte si následující příklad.

Příklad matematického vyjádření jednorozměrných signálů, pomocí lineární kombinace některých bázových funkcí

Mezi nejvíce používané ortogonální funkce v oblasti zpracovaní signálů patří funkce Walsh, Haar a Rademacher.

Rozklad (aproximace) diskrétního signálu x(nT), kde T je diskretizační perioda s počtem vzorků M podle některé diskrétní ortogonální báze, je dán vztahem:

přičemž optimální koeficienty:

U harmonických signálů je parametrem funkce frekvence. V případě neharmonických signálů se používá termín sekvence, která je určena počtem průsečíků nulové úrovně za sekundu. V souvislosti s diskrétními funkcemi se sekvence určí z počtu změn znaménka vzorků za sekundu.

Diskrétní ortogonální bázové funkce můžeme získat diskretizací funkcí spojité ortogonální báze harmonických funkcí.

## Systém Walshových funkcí

Walshovy funkce tvoří uspořádanou množinu pravoúhlých impulsů, které mají jen dvě možné hodnoty amplitudy ( +1 anebo -1 ) a představují úplný systém ortogonálních funkcí. Jsou závislé na dvou argumentech, a to času (t) a na pořadovém čísle (k). Značíme je wal(k, t) a můžeme rozlišovat sudé (cosinusové-Walshové) cal(k, t) a liché (sinusové-Walshové) sal(k, t) funkce, které jsou dány:

Příklad sudých a lichých bázových Walshových funkcí

Podle uspořádání Walshových funkcí tyto dělíme do třech skupin:

1. uspořádání Walshovo (sekvenční) walw(k, t)
2. uspořádání Paleyho (diadické) walp(k,t)
3. uspořádání Hadamardovo (přirozené) walh(k, t)

Jednotlivá uspořádání mají svá realizační opodstatnění. Báze obsahují ty samé funkce, které jsou však odlišně seřazené. Jako příklad je možné uvést Hadamardovo (přirozené) uspořádání.

Výhodou tohoto uspořádání je jednoduchá tvorba bázových funkcí větších rozměrů.

Na obrázku níže je prvých osm spojitých a diskrétních Walshových funkcí s přirozeným uspořádáním, přičemž maticový zápis diskrétních Walshových funkcí dává v tomto případě Hadamardovu matici Uh (3) s rozměrem 8x8.

Obecně můžeme Hadamardovu matici Uh (r) s rozměrem MxM, kde M=2r, vypočítat pomocí kroneckerovského (přímého) součinu matic z Uh(r–1).

kde Uh(0)=1

Kroneckerovský součin, označený jako , je operace se dvěma maticemi libovolných rozměrů, jejímž výsledkem je matice s maticovými prvky.

Přirozené uspořádání spojitých, diskrétních a matice Walshových funkcí

Existují také další transformace obsahující harmonické bázové funkce. Kromě diskrétní Fourierovy transformace sem patří diskrétní kosinusová transformace (discrete cosines transformation DCT), diskrétní sinusová transformace (discrete sinus transformation DST), diskrétní Hartleyho transformace (discrete Hartley transformation DHYT).