Analogové a digitální technologie
Filtry

Při zpracování signálů, je filtr zařízení nebo proces, který odstraní ze signálu nechtěnou část nebo vlastnost.

Nejčastěji to znamená odstranění některých frekvencí kvůli potlačení rušení signálů a snížení šumu v pozadí. Avšak filtry nepracují jen ve frekvenční doméně, obzvláště v oblasti zpracování obrazu je více veličin, které se mohou filtrovat.

Nedostatkem filtrace je ztráta informace spojené s odfiltrovanou částí. Kombinace signálu s Fourierovým prostorem je alternatívní přístup na odstranění pouze určitých frekvencí ze signálu.

Existuje několik různých klasifikací filtrů, které se v mnohých kritérií překrývají. Neexistuje tedy jednoznačné dělení. Filtry tedy můžeme dělit na:

- analogové nebo digitální
- diskrétní v čase nebo diskrétní v hodnotě
- lineární nebo nelineární
- s nekonečnou impulsní odezvou (IIR) nebo s konečnou impulsní odezvou (FIR) patřící mezi diskrétní a digitální filtry

Důležité pojmy používané v klasifikaci lineárních filtrů:

- Dolní propust – nízké frekvence se propouštějí, vysoké frekvence se tlumí.
- Horní propust – vysoké frekvence se propouštějí, nízké frekvence se tlumí.
- Pásmová propust – propouštějí se pouze frekvence definovaného pásma.
- Pásmová zádrž – tlumí se pouze frekvence definovaného frekvenčního pásma.
- Úzkopásmový filtr – tlumí pouze jednu definovanou frekvenci (speciální typ pásmové zádrže).

Filtry mohou být implementovány různými technologiemi. Stejná přenosová funkce se může realizovat více způsoby. To znamená, že matematické vlastnosti a parametry jsou stejné, ale fyzická realizace je odlišná. Komponenty v jednotlivých technologiích jsou však obvykle stejné a v příslušných filtrech plní stejný úkol.

- Elektronické filtry byly původně vyrobeny pouze z pasívních prvků (odporníky, indukčnosti a kondenzátory). Aktivní technologie zjednodušily výrobu a otevřely i nové možnosti ve specifikaci filtrů.
- Digitální filtry pracují se signály definovanými v digitální podobě. Podstata digitálních filtrů spočívá v tom, že mají přímo v mikro kódu implementován matematický algoritmus odpovídající požadované přenosové funkci.

## Lineární analogové filtry

Lineární obvod popsaný spojitými funkcemi je pravděpodobně nejčastěji myšlený jako filtr v oblasti zpracování signálů. Pro zjednodušení se zavedl pojem filtr. Úkolem těchto filtrů je určité frekvence tlumit a jiné propouštět.

Takový filtr musí být nutně lineárním filtrem. Nelinearita by mohla způsobit to, že se ve výstupním signálu budou vyskytovat i frekvence, které se ve vstupním signálu nenacházely.

Nejznámější skupiny lineárních, časově spojitých filtrů, dělené podle způsobu návrhu jsou:

- Chebyshev filtr, má nejlepší aproximaci vzhledem k ideální charakteristice libovolného filtru pro dané uspořádání a zvlnění.
- Butterworth filtr, má maximálně vyrovnanou frekvenční charakteristiku.
- Bessel filtr, má maximálně vyrovnané fázové zpoždění.

Rozdíl mezi těmito skupinami filtrů spočívá v tom, že každý typ používá jinou polynomickou funkci pro aproximaci ideální frekvenční charakteristiky. Výsledkem jsou různé přenosové funkce. Takže podle toho, jakou frekvenční charakteristiku potřebujeme (zvlněnou, vyrovnanou) si vybereme typ filtru.

Filtry se používají především v oblasti telekomunikací – jsou nezbytnou součástí mnohých technologických pokroků a byly zdrojem značných zisků pro telekomunikační společnosti. Nemělo by tedy být žádným překvapením, že vývoj prvých filtrů byl úzce spojen s vývojem přenosových tras.

## Digitální filtry

V elektronice, výpočetní technice a matematice se za digitální filtr považuje systém, který pracuje jen s navzorkovaným signálem (diskrétním v čase). Jeho podstatou je zredukovat nebo zvýraznit některé vlastnosti signálů.

To je hlavním rozdílem v porovnání s analogovými filtry, které reprezentuje elektrický obvod pracující se signálem spojitým v čase. Analogový signál může být filtrován digitálním filtrem v případě, když se nejdříve navzorkuje a je reprezentován jako posloupnost vzorků. Potom může projít digitálním filtrem a zpětně se zrekonstruovat na profiltrovaný analogový signál. U analogových filtrů je vstupní signál přímo přiveden do elektrického obvodu.

Digitální filtr je charakterizován svojí přenosovou funkcí anebo diferenční rovnicí. Matematickou analýzou přenosové funkce se dá vyjádřit odpověď na libovolný vstup.

### Filtry s konečnou impulsní odezvou

Filtr s konečnou impulsní odezvou, se zkratkou FIR – je filtr, který má konečnou impulsní odezvu, protože se po určité době ustálí na nule.

FIR jsou typické filtry bez zpětné vazby, takže výstupní signál závisí pouze na vstupním signálu. Jestliže máme N vzorků vstupního signálu, potom N –1 je stupeň filtru.

Diferenční rovnice popisující systém v časové oblasti:

Definice přenosové funkce:

Hlavní výhody FIR jsou tyto:

- Nedochází k akumulaci chyby při sčítání vzorků, protože nemají zpětnou vazbu.
- Jednoduchá implementace.
- Stabilita. Jsou-li bez zpětné vazby, pak všechny póly* jsou umístěny v začátku (zjednodušeně řečeno „jakoby póly nebyly“). Systém je stabilní právě tehdy, když absolutní hodnota každého pólu je menší než jedna.
- Jednoduše se dá zabezpečit lineární fázovou charakteristiku. Ta je zabezpečená tehdy, když je impulsní odezva systému symetrická anebo antisymetrická.

*Poznámka: póly jsou kořeny jmenovatele přenosové funkce.

Impulsní odezva (pro zabezpečení lineární fázové charakteristiky)

Při návrhu filtru musíme vybrat takové koeficienty, aby filtr měl požadované charakteristiky. Ty jsou obvykle uvedeny ve specifikaci filtru, která nejčastěji představuje jeho frekvenční charakteristiku. Existuje několik metod na hledání koeficientů - mezi nejvíce používané patří:

- Intuitivní metoda
- Metoda frekvenčního vzorkování
- Metoda s okenními funkcemi
- Metoda vážením nejmenších čtverců

Impulzová odpověď, magnitudová a fázová frekvenční charakteristika FIR filtru

### Filtry s nekonečnou impulsní odezvou

Filtr s nekonečnou impulsní odezvou, se zkratkou IIR – je filtr, jehož impulsní odezva nikdy nenabyde nulové hodnoty.

Vzorek výstupního signálu je dán sumou N vzorků vstupního signálu, váženými koeficienty ak a výstupního signálu, váženými koeficienty bk. Je to zřejmé také diferenční rovnice, která popisuje IIR systém.

Diferenční rovnice popisující IIR filtr:

a definice přenosové funkce:

Přenosová funkce je dána podílem dvou polynomů, proto stabilita soustavy není zaručena. Jak bylo již uvedeno, systém je stabilní tehdy, když absolutní hodnota každého pólu je menší než jedna. V případě nestability existuje několik způsobů, jak soustavu stabilizovat, například pomocí fázovacích článků anebo PLSI algoritmem.

Při návrhu filtru musíme zvolit koeficienty tak, aby systém měl předepsanou frekvenční charakteristiku. V případě IIR filtru to znamená určit stupeň čitatele, jmenovatele a koeficienty ak a bk.. Metody návrhu IIR filtrů se dělí do dvou skupin.

Do prvé skupiny patří přímé metody návrhu:

- Intuitivní metoda
- Metoda frekvenčního vzorkování
- Pronyho metoda

Druhá skupina metod návrhu se nazývá nepřímé metody a vychází z přepracovaných metod návrhu analogových filtrů. Při návrhu jsou formulovány požadavky na IIR filtr. Potom se navrhne analogový filtr (Chebyshev, Butterworth, Eliptický filtr), který je přetransformován do digitální oblasti aplikováním diskretizačních technik. Mezi nejpoužívanější patří:

- Metoda bilineární transformace
- Metoda invariantnosti impulsní charakteristiky

Impulsní odezva, magnitudová a fázová frekvenční charakteristika IIR filtru (exponenciální funkce)
Impulsní odezva, magnitudová a fázová frekvenční charakteristika IIR filtru (sinc funkce)

Hlavní výhodou IIR filtrů je skutečnost, že přes rekurzivitu mají méně členů, a tedy spotřebují méně operační paměti než ekvivalentní FIR filtry. Proto jsou výhodné v oblasti číslicového zpracování signálů.

Nevýhodou IIR filtrů je okolnost, že mohou být nestabilní. Implementace IIR filtrů je komplikovanější než implementace FIR filtrů.