Časová a frekvenční reprezentace
Diskrétní Fourierova transformace

Diskrétní Fourierova transformace DFT se používá pro získávání spektra diskrétních signálů. Abychom popsali signál ve frekvenční doméně, potřebujeme konečný počet sinusoid.

Pro znázornění co dělá DFT použijeme následující příklad. MP3 přehrávač posílá reproduktoru audio informace v podobě kolísavého napětí elektrického signálu. Výsledkem je pohyb vzduchových částic a produkce zvuku. Kolísání audio signálu v čase může být graficky znázorněno: osa x představuje čas a osa y napětí elektrického signálu. Toto vypadá jako nepravidelný vlnový hlavolam, který je ve skutečnosti sumou několika pravidelných hlavolamů, které představují různé frekvence zvuku. Frekvence znamená jen rychlost, s jakou se molekuly vzduchu pohybují tam a zpět, nebo kolísání napětí.

DFT vytváří matematicky to, co fyzikálně dělá lidské ucho: rozkládá signál na jednotlivé složky frekvence. Na rozdíl od analogového signálu z gramofonu, digitální signál z MP3 přehrávače je pouze sled čísel, které reprezentují velmi krátké vzorky skutečného zvuku: například CD-kvalita digitálně zvukového přehrávače sbírá 44 100 vzorků za sekundu. Jestliže vybereme několik po sobě jdoucích hodnot z digitálního signálu: 8, 128 anebo 1 000 – DFT je reprezentuje jako vážený součet stejného počtu frekvencí. („Vážený“ jen znamená, že některé frekvence se významněji podílí na celku než jiné.)

Diskrétní Fourierova Transformace (DFT) je matematicky vyjádřena jako:

a inverzní diskrétní Fourierova transformace (IDFT) je definována jako:

kde N je počet vzorků diskrétního signálu a n= 0, 1, 2, ..., N-1, je velmi často nahrazené jako Ω (Ω = ).

DFT sledu N-bodových časových vstupů je N-bodové frekvenční spektrum s Fourierovou frekvencí k s rozsahem od –(N/2 – 1), přes nultou frekvenci, nazývanou jednosměrná složka, až po nejvyšší Fourierovy frekvence N/2. Každá spektrální složka představuje celé číslo sinusových period prezentovaných v časovém sledu. Amplitudy a fáze jsou reprezentovány amplitudami Ak a fázemi těchto sinusoid. Pro shrnutí, každá spektrální složka může být popsána jako .

Diskrétní Fourierova transformace je definována též pro dvojrozměrné signály a může být reprezentována jako série rozšíření funkce obrazu (přes 2D prostor).

Definice dopředné a inverzní 2D FT jsou:

Spektrum je komplexní když i posloupnost je reálná. Spektrum může být definováno též jako suma reálných a imaginárních částí nebo jako součin magnitudy a fáze.